中评社香港6月25日电／美国《华尔街日报》6月24日载文《统计数据是替党还是替老百姓说话？》，摘要如下：
　　
　　　　替党还是替老百姓说话？这个“简约而不简单”的问题在不同的场合下会有不同的答案。作为整个政治生态系统中的重要组成部分，统计部门当然也无法逃脱替党还是替老百姓说话的诘问，而且统计部门在专业性的幌子下更容易制造谎言。
　　
　　　　今年以来，关于统计数据背离和打架的新闻屡见不鲜，比如，国家统计局发布的工业增加值和中国电力企业联合会发布的用电量数据屡次一升一降(同比增幅的最高背离程度达到11个百分点左右)，而且国际能源署还质疑，中国第一季度GDP增长6.1%与当季石油需求下降3.5%的情况也不符合。
　　
　　　　针对这种质疑之风，国家统计局一方面组织体制内专家加以辩驳。但这些专家认为中国经济结构已经发生质变、第三产业对经济拉动作用加大的结论并不令人信服。一般来说，经济衰退期为了维持就业和保持增长只会强化旧的经济模式，而不会进行会造成大量失业的产业结构调整，这一点从中国政府降低以房地产为主的投资性项目的资本金比例和多次上调出口退税可见一斑。经济结构调整一般不会在经济急速衰退时横空出世。
　　
　　　　另一方面为了避免尴尬维护形象，国家统计局也在寻求立法支持，希望统一统计数据的发布渠道。近日，十一届全国人大常委会第九次会议审议的统计法修订草案中就规定，政府有关部门不得公布与本级人民政府统计机构不一致的统计数据，尽管同时也规定并不干涉民间调查和单位内部统计，但已经让我们感到了“统计霸权”的阴影。
　　
　　这种必须由统计部门“独立”发布统计数据的规定对统计部门的独立性只会带来阻碍，因为统计部门是否具有独立性需要来自各个机构和部门统计数据的竞争和检验，特别是在现有的统计部门受同级政府行政领导的统计体制下，如果“罢黜百家、独尊儒术”只会加强行政权力下的“数据垄断”，统计学也极有可能回归到具有“阶级性”和“党性”的社会科学，1990年以前中国的统计理论就曾被称为“马克思主义的无产阶级统计学。”
　　
　　　　诚然，国家统计局已经在努力改善统计数据的科学性，比如，国家统计局已经着手收回地方GDP数据的发布权，改由自己直接核算；6月23日还开通了社情民意调查热线-12340，接受公众的咨询和质疑。但在现行的统计体制下，统计部门特别是基层统计部门在统计专业性外衣的遮掩下，替当权者说话仍然十分便利。一种方式是直接注水，这尤其以地方统计数据为甚，由于现有统计体制和政绩考核体系的缺陷，使得地方政府的数据往往不是根据本地实际情况得出，而是根据“它地”实际情况得出，从而谋取政治利益。
　　
　　　　地方GDP的汇总数据和全国GDP数据曾出现上万亿元的差距就是一个典型的例子，地方政府常常通过工业增加值重复计算（即突破法人属地原则，集团公司和子公司的经营活动被各地重复计算）和第三产业估算过度的方式（即“总量不够三产凑”）来虚增地方GDP，今年第一季度许多专家眼中的第三产业迅猛增长或许就有这个因素，也被国家发改委中国宏观经济学会秘书长王建戏称为“地方用统计为增长做贡献”。
　　
　　　　另一种方式是在发布统计数据时，常常散布“不完全信息”，“只及一点、不及其余”，进而误导公众和投资者。比如，今年3月，中国物流与采购联合会和里昂证券发布的PMI（制造业采购经理人指数）数据曾出现了背离，中国物流与采购联合会的PMI为52.4，连续四个月回升，而里昂证券的PMI则显示回落至44.8。实际上二者的统计口径天壤之别，中国物流与采购联合会的PMI指数只覆盖约730家大中型企业，而里昂证券的PMI覆盖了400多家中小型企业，因此这两个机构的PMI指数不是剑拔弩张的竞争关系而是相辅相成的互补关系，如果在发布数据时同时公布取样方法，想必会减少许多不必要的口水战。
　　
　　　　英国前首相本杰明•迪斯雷利曾说过：“有三种谎言：谎言、糟糕透顶的谎言和统计资料”，如何认清政府公布的纷繁芜杂的统计数据是各国公众都要面临的难题。1954年，美国统计专家达莱尔•哈夫用轻松通俗的文字写了本至今仍畅销的名作《统计数字会撒谎》（How to Lie With Statistics），如果你看了这本书，学会了如何挑选内在有偏的样本、如何遗漏重要的数据和偷换概念，或许会对中国的统计数据替党还是替老百姓说话有更深切的体会。

我的回答：没办法，只能看着粮食烂掉。你还能怎么办？（不要想酿酒，磨面，做米饼之类的主意，假设这些罗宾逊都不会）。

然后假设罗宾逊不是一个人生活在荒岛上，上面其实有两个人，另外一个就叫人渣吧。假设人渣那里有块空地，罗宾逊可以把自己多余的粮食借给人渣，人渣可以把那些粮食当种子种下，等到秋天打了粮食，除了把当初借的粮食还给罗宾逊之外，可能还多给一点，算是利息。这样罗宾逊和人渣都合适，罗宾逊多余的粮食有了去处不会凭空烂掉，人渣的空地有了种子。到了秋天，罗宾逊和人渣都能有更多的粮食可以消费。

这是一个没有货币的世界，但这不重要。这个世界的硬通货就是粮食，罗宾逊在把粮食借给人渣的那一刻，就发生了一件重要的事情：罗宾逊有了自己的（外汇）储备。人渣就有了自己的外债。储备也好，外债也好，都是用粮食计价的，货真价实，不存在“贬值”的问题。

上面这些都很正常。现在假设这样一种情形：人渣那里其实根本没有空地，借给人渣的粮食永远不可能被种下去。人渣自己吃了也好，烂了也好，扔在海里也好，或者证券化了也好，都不重要，重要的是这些粮食没有被种下去。所以，等到秋天收获粮食的时候，这个岛上的粮食并没有增加，特别是人渣，并没有多余的粮食来还罗宾逊。这个时候罗宾逊去找人渣收帐，人渣能干什么？1.勒紧裤腰带（分期分批）还了2.（分期分批）赖了3. (分期分批)还一部分，赖一部分。

你如果仔细想想中国的外汇储备，是用美元也好，欧元也好，什么货币也好，最本质的东西还是：中国人打下了“粮食”了，借给了一些国家（主要是美国），这些国家没把那些“粮食”种了，而是吃了，烂了，证券化了，或者简单的说“消费了”而没有进行“投资”。现在如果中国去要帐，这些国家的选择和人渣的一模一样：1.勒紧裤腰带（分期分批）还了2.（分期分批）赖了3. (分期分批)还一部分，赖一部分。因此，如果这些国家采取的政策，不是使得最后的结果是“勒紧裤腰带（分期分批）还了”，那中国面对的结果只能是2或者3，这和用什么货币进行储备没有直接的本质的关系。美国至今为止采取的政策，还让我看不到1的特征，因此我只能觉得2和3是必然的结果，2当然几乎不可能会发生，所以3大概是必然的结果。

周行长的超主权储备货币的说法，我相信是个政治姿态，从各种舆论看，这个态度还是非常有效果的。但从实质说，超主权储备货币，即便可行，也不是解决中国外汇储备问题的办法。人渣可以给罗宾逊打各种白条，叫它美元也好，叫它特别提款权也好，只要人渣没拿出真金白银的粮食，最后都是假的。但如果真的需要人渣能拿出粮食，那就得保证人渣真的是把借来的粮食种了，而不是吃了，烂了或者证券化了。

话再说回来，假设人渣执迷不改，罗宾逊决定不再把粮食借给人渣，但如果没有更好的办法对付多余的粮食，那粮食最后还是会烂掉，罗宾逊还是要浪费粮食。从这个意义上说，浪费粮食的最终根源还是来自罗宾逊，只不过是烂在自己手上还是烂在别人手上的区别。

因此，如果真的不想再浪费粮食，看来罗宾逊真的是要学习酿酒，磨面，做米饼了――光会种地是不行的。

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文/姜艾国(中国改革开放论坛理事、中国国际金融学会理事)

最近几年经济学家挨骂的事例已不鲜见。

有人将此现象归结为精英阶层与草根民众间的情绪对立；有人把哗众取宠视作某些经济学家挨骂的原因；还有些人认为，学者之所以在百姓眼里被贬值为“砖家”，主要原因是理论与实践脱节，是对财经实务和基层民情了解程度的不足。

　　以上几种解释都有一定依据，但笔者认为，一些经济学人在百姓眼中贬值，主因不是知识不够多、水平不够高，而是实事求是作风的匮乏。其中，最突出的表现就是：唯上不唯实，本位主义盛行，以及陷入一些小圈子、为利益集团所囿等。其中，三种现象值得关注。

　　其一，“抬轿派”的日益壮大。陈云同志提出，要唯实不唯上，要坚持实事求是作风。实事求是不仅是改革开放三十年取得巨大成果的可靠保证，也是社会科学界应当长期坚持的思想品德，但近些年来学者讲真话的风气却较以前淡薄了。有些研究者习惯于揣摩领导的意思。只要上面已经作了决定或领导已经表了态，一些专家就会为此找理据，为此造势，为此阐释细节和意义。

　　甚至该决策的负面作用因形势变化和时空转换而越来越凸显，“抬轿派”有时也会极力维护原有的观点。以人民币汇率为例，虽然2005年7月的汇率改革十分正确，但此后3年的渐进升值方式却有弊有利，而且越到后来弊端越大。比如21%的升值幅度已非外向型企业所能承受；渐进升值产生非常明确和一边倒的升值预期，导致热钱大量涌入、国内流动性泛滥，国际收支、贸易顺差和外汇储备规模不仅没有因升值而减少，反而持续、急剧地膨胀等。但是国内相当部分专家一直一边倒地宣传人民币升值的种种好处。

　　除汇率问题外，在对未来经济形势的判断上，抬轿派也表现得比较明显。早在2008年4～7月份，国内经济形势已经出现逆转，国内企业的日子已很艰难。但“抬轿派”却习惯于报喜不报忧，把经济增速下滑作为某种调控的成绩来宣扬。

　　每个人观察问题的视角不同，每项政策总是有利有弊，每样决策总得接受形势变化的挑战。当时易势移的时候，当发现问题已经存在的时候，有责任心和爱国的研究者应该站出来说真话、讲实情。温家宝总理曾说，“知政失者在草野，知屋漏者在广宇。”其意就在勉励学者要坚持唯实不唯上的思想作风，期待学者敢于指出政策的不足之处、善于为中央提供不同视角的政策建议。

　　其二，利益集团对经济学界的不断渗透。比如，黄光裕明明涉嫌洗钱、造市、侵吞银行贷款等多种严重性质的犯罪，有些学者却有意无意地提倡豁免民营企业家的原罪，有的甚至公然在国内外媒体上为黄喊冤；明明我国大中城市的房价收入比已普遍超过10倍，高价房已成为积累金融风险、影响社会和谐、削弱基层民众消费潜力的负面因素，却偏偏有一些学者不断为高房价辩护；明明对人民币升值施加压力是美国政府的国策之一，在持有大量人民币资产的欧美金融机构任职的经济学家却一边倒地为升值政策唱赞歌。

　　这些案例说明，随着商业化和全球化的不断深入，一些学者确实已为“钱途”所困，沦为国内外利益集团的“御用”专家。

　　按照笔者的观察，学者为利益集团服务大致可分为如下几种类型：第一种是欧美大企业、大银行为了维护自身的利益，高薪聘用一些经济学家，试图利用其市场地位来影响政府决策；第二种是外国机构和外国基金会在中国境内出钱资助经济研究机构，使其成为影响社会舆论的重要工具；第三种是国内某些企业明里暗里“团结”部分学者，使其成为本企业或本行业的代言人；第四种是学者本身在该行业或该市场(比如股市)有巨大利益，为维护自身利益不得不借“著名专家”的地位来影响政府决策；第五种是个别领导干部亲自带研究生，迅速提拔嫡传弟子，以致他们的门徒大都身居要职，在政治和学术上形成一个相互维权、相互“抬轿”的“小圈子”。最后一种情况不仅影响招聘和晋升的公平性，还会助长学术腐败，并成为派系纷争的源头之一。

　　其三，学风中本位主义问题严重。一些机关下属研究机构的研究者，几乎都受到观点和政策建议须与所在单位一致的“内部纪律”约束。虽然这些机构的许多研究报告都很有深度，但在涉及主管单位所辖职能、权限、政绩和存在问题等方面，研究者大都会取用相对有利于本部门或本级政府的论点和论据。

　　如果部门之间存在利益冲突，在从属不同的研究机构之间，观点相左的可能性就会更大一些。在日常的学术交往中，笔者有时就会听到某些研究员被领导批评为“拿本单位工资、不为本单位说话”的信息。在有关宏观调控的方向争论很激烈的时候，有些部门甚至在基层调研时，给被调查对象发出“请正面评价某某政策积极作用”的标题。如此调研、如此研究，某些经济学家挨骂自然就在情理之中了。

（一）

    前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

    可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

    线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。

    事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”，然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，…，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。

    大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？

* 对于矩阵转置运算A^T，有(AB)^T = B^TA^T，对于矩阵求逆运算A^-1，有(AB)^-1 = B^-1A^-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P^-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？

    这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？

    我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

    自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶。

    对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。

    因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不会中断，写着看吧。

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    今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

    首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

    总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。

    我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动，

    上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。

    认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

    因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

    下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：

    1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

    2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

    我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：

    L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x⁰, x¹, …, xⁿ为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量a_i其实就是多项式中x^(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。

    L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

    所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。

    下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

    线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

    简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

    是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）

    可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。

（二）

    接着理解矩阵。

    上一篇里说“矩阵是运动的描述”，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。

    不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：

    “矩阵是线性空间里跃迁的描述”。

    可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

    一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：

    “矩阵是线性空间里的变换的描述。”

    到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，那么就称T为线性变换。

    定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。

    接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好，最后我们把矩阵的定义完善如下：

    “矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

    理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。

    比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。

    同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

    但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：

    若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：

    A = P^-1BP

    线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。

    而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。

    这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

    这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

    这个留在下一篇再写吧。

（三）

    这两篇文章发表于去年的4月。在第二部分结束的时候，我说：

       “矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

    这个留在下一篇再写吧。

    因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。 ”

    然而这一拖就是一年半。一年半以来，这两篇粗糙放肆的文章被到处转载，以至于在Google的搜索提示中，我的名字跟“矩阵”是一对关联词汇。这对于学生时代数学一直很差的我来说，实在是令人惶恐的事情。数学是何等辉煌精致的学问！代表着人类智慧的最高成就，是人与上帝对话的语言。而我实在连数学的门都还没进去，不要说谈什么理解，就是稍微难一些的题目我也很少能解开。我有什么资格去谈矩阵这样重要的一个数学概念呢？更何况，我的想法直观是直观，未见的是正确的啊，会不会误人子弟呢？因此，算了吧，到此为止吧，我这么想。

    是时不时收到的来信逐渐改变了我的想法。

    此外，请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言，近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有（四）的话，可能是一些站在应用层面的考虑，比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。

(四)

博丹针对物价问题，提出法国当时物价上涨的主要原因是金银的数量过多。

他著文说明了这一现象，最早地提出了货币数量理论。

邹恒甫：藏富于民 中国经济持续发展支撑点

《小康》：对于目前的此次经济衰退，国内有经济学家乐观认为“中国可以进入美国抄底”，您是怎么看的？

邹恒甫：我不认同这种观点，而且我觉得这种乐观带有很强的欺骗性，以及危害性。我想说的是，美国经济不是大家想的那么糟糕。相反，因为美国的财政制度非常完善，而且在这几十年里，美国经济在世界货币体系中的重要地位，使得美元与世界各国之间形成了牢固的依存链，这也是为什么美国经济一旦出现问题，西方各国就会紧急召开会议来商量如何来为美国救市。在这种情况下，即使我们中国经济有三十年改革取得的成果与储备，但在全球经济面前还是势薄的。乐观，是一件好的事情，可以使我们自信。但同时，我们也需要冷静地认清自己的能力，这样才能弥补自已的不足，切实地提高自己的实力与竞争力。

《小康》：您认为中国经济目前最显著的问题是什么？

邹恒甫：在说问题之前，我先要说到中国经过这三十年发展取得的成就。这个成就，使得国外经济学家认为是“中国奇迹”，但他们没有看到中国经济发展所付出的成本。1978年，中国的外汇储备是1.67亿美元，到2007年就是15282美元。数字能够准确告诉我们国家的经济实力在提升。但同时，我们也要注意看到一个事实，那就是贫富差距比例也在拉大。衡量贫富差距，国际上通用的标准是，基尼系数，一般我们称0.3以下是安全的，而高于0.4就是一个蕴含着危机的社会。那么，我们在1978年，基尼系数是0.16，说明这是一个非常公平，平均的社会；而2007年，基尼系数则高达0.46。这些数据说明，我们中国经济现在处于国富民穷的阶段。怎么办？我认为发展产业经济才是最根本的。为了促进一个健康的、有活力的产业经济生态圈，我们应该提倡竞争，应该加大对中小企业的扶持。有些经济学家认为大力发展金融业，可以快速使中国经济致富，但我觉得作为人口大国，还是踏实地做事，稳步发展经济会更安全有效，这也是中国经济持续发展的支撑点。

《小康》：我们应该如何建设良好的经济制度来确保一个富有活力、健康竞争的产业经济圈呢？

邹恒甫：制度很重要。但制订一个好的制度，同时也需要承受短斯内的压力，这是一种远见，因为一个国家应该为长期发展考虑，做到真正的可持续性。我在世界银行工作的期间，通过调查研究发现，一些发展中国家在几十年的时间里，的确可以做到迅速发展，但同时也积累了各种问题，最后成为其瓶颈，甚至影响到社会的稳定。

推动劳资力量均衡，可以藏富于民，让源源不断的国民内部强劲消费、投资需求成为经济持续发展的保障。

在这点上，我可以介绍日本在推进经济时的措施。1960年，日本池田内阁实施“国民收入倍增计划”起，到1967年国民收入增加了一倍，1973年时又增加两倍。日本经济起飞的基础由此奠定，从制造大国成为仅次于美国的经济强国。试想，如果日本几十年前没有技术研发的长远目光和巨大投入，而一直满足于劳动力成本的暂时优势，那么在中国改革开放之后，它早就被竞争所淘汰掉了，是技术优势保证了日本在国际市场的持续竞争力。

几乎所有西方发达国家的经济起飞都有过类似的经历。到目前为止，我国没有类似的计划使国民财富同步增长，使部分国民成为改革成本的长期承担者，并留下种种后遗症。

很多人认为，中国近年来10%左右的经济增长速度过快。然而，经济增长速度提高的好处不言而喻。关键的问题不在于经济增长速度过快，而在于人力资本投资不足。

事实上， 目前中国经济面临偏热转向过热。给经济降温的方法有很多，但只有“藏富于民”才最根本的办法，并把经济推向长远健康发展。

《小康》：人力资本投资很重要。请您具体阐述其中的意义与操作方法。

邹恒甫：提高人力资本投资是经济可持续发展的物质基础，这是由各发达国家经济发展轨迹所证明的一条原理，尤其是亚洲新兴国家和地区的发展历程表明：一开始依靠劳动密集产业和制造业对外出口迅速增长的经济体（比如日本和亚洲四小龙），随着本地区劳工成本的逐年递升以及世界其它地区的劳力更廉价的区域的开辟，其逐渐丧失成本优势，能够继续支撑经济持续增长的是人力资本优势和产品技术含量的提高。

一个国家的经济增长很大程度上是以该国的总产出来衡量的。总产出取决于总投入。投入有三个来源：劳动、资本和技术进步。前两者都是物质投资，后者则是无形投资。新经济增长理论认为，内生的技术进步可以带来内生的经济增长，而内生的技术进步则来自于经济当事人的无形资本投资即人力资本投资与研发投资。由于无形资本具有外部性，当无形资本投资不足时，经济将达不到帕雷托最优或经济是动态无效的。

新经济增长理论将知识和人力资本因素引入经济增长模式，应用专业化的知识和人力资本的积累可以产生递增的收益投入，从而收益的利润也在增加。

从我国来看，根据测算，1987~2003年，我国人力资本对经济增长的总体贡献率却不到30%，而物质资本投入的贡献却达70%，然而，物质资本投资具有规模收益递减性，如近年来，中国各地区固定资产投资的增长和当地经济水平的非相关性表现得越来越明显。

由此可见，解决中国经济增长所谓速度过快的根本对策是大幅度提高人力资本投资。人力资本投资主要分为五大块：一是医疗和保健；二是在职人员的培训；三是正规初等、中等和高等教育；四是非厂商组织的为成年人举办的学习项目；五是劳动力适应于就业机会的迁移以及提高企业能力方面的投资。其中，教育投资与医疗保健是整个人力投资主要因素。由于教育和医疗保健的改善具有外部性，在很大程度上依赖于政府投资，而中国政府的教育、卫生投资相对规模尚处于较低的水平。

《小康》：您非常重视社会福利制度的建设。这与经济发展应该也有直接的关联。

邹恒甫：必要的社会保障和福利是经济和社会可持续发展的基础，再也不能让人民由于这方面的担忧而心惊胆战节衣缩食地过日子。没有必要的社会保障，穷人有强烈的不安全感，整个社会就失去活力，经济发展也失去长期的动力。

社保基金亏空严重几乎是世界各国通病。富若美、欧、日等在为此也为之头疼，何况象中国这样的发展中国家。

但中国社保基金亏空巨大，官方公布数据为7200亿人民币，个人养老金账户空账运行严重。同时，中国的教育支出只占GDP的3%，许多发展中国家已达到5%左右。我认为，教育、卫生和社会保障支出要各占GDP的5%左右才正常。

社保基金的解决可以依靠财政支持与国企分红来解决。具体到操作办法，可以加大中央和省一级政府在社保上的投入。公共服务的不足，对于一个努力建设和谐社会的国家来说是不能接受的。我觉得在九年制义务教育、基本卫生医疗设施、基本失业补助金和养老保险以及农村地区基本的公共设施服务等方面应建立最低国家标准。

还有将国企分红投入到社会保障体系。这样就可以使政府在教育、医疗、社保相关支出大幅增长。我国要实现国企分红的一个重要障碍就在于国企利益集团化，我们应该建立起相对完善的监管机制。

《小康》：中央一号文件中一再强调了社会保障制度的重要性，也在着手建设、完善。但对于中国经济，企业的健康发展或许成为当前要务。

邹恒甫：在国际金融危机的大背景下，中国同时受到了牵连，政府一直在试图采用各种政策和手段来扩大内需、刺激消费，以此来带动经济增长，降低金融危机对中国的影响。由此可见，内需是经济长远发展的一项重要保障。

在最近的经济活动中，让产品下乡成为一个热点。这是一个好现象，起码我们有一个意识，就是让农民来消费我们的产品。但同时，我们也需要考虑，如果农民没有相应的保障制度，收入低下，那如何来消费？

所以要保持我国经济的长期稳定增长，就应当保证这些生产消费产品的中国工人的生活质量能够同期提高。中国的政治家和经济学家需要做出政治上和经济上的远见，把中国的农民工发展成为中国市场的消费者，那样就会降低我们未来可能受到的国外经济的不确定因素的影响。

　 在当前经济低迷的情况下，许多经济学家都发表了自己的见解与观点。我认为经济学大师马歇尔说过的“热情的心灵，冷静的大脑”应该成为经济学家言论的出发点。

经济学不可能回避价值判断和公正问题，经济学家有责任来呼唤社会良知，有义务为社会公正呐喊。有人认为经济学可以回避价值判断和公正问题，这是对现代经济学的极大误解。经济研究的终极目标是人类的效用和福利。纵观现代经济学的发展历程，我们会看到所有伟大的经济学家都始终热切地关注着人类的行为和社会的发展。一些经济学大师在伦理、道德和社会公正领域的经济分析方面做出了重大贡献。

其实，哪里有什么奇迹？！

奇迹是我们自己的意淫。

搞学问的人不去为社会贫苦人民多操劳而一味对上级溜须拍马，可耻。